اثر هال کوانتومی و نظریه شکست تقارنی لاندائو

اتم­ ها می­توانند از راه های زیادی سازمان یابند که منجر به نظم های مختلف زیادی و نتیجتاً انواع مواد مختلف ماده مانند مایع، جامد، گاز، ابررسانا ها ،ابرشاره ها و غیره می­شود که هرکدام فازی از ماده را مشخص می­کنند، در قرن گذشته نظریه شکست تقارن لاندائو یک درک عمومی از این نظم­های مختلف فراهم می­کرد؛ باید در نظر گرفت که نظم­های مختلف در واقع اشاره به تقارن­های متفاوت در آرایش اتم­های تشکیل دهنده دارد.

اگر یک ماده از یک نظم به یک نظم دیگر تغییر پیدا کند (یعنی ماده یک گذار فاز انجام دهد)، چیزی که اتفاق می­افتد این است که تقارن آرایش اتم­های تغییر پیدا می­کند برای مثال، اتم­ها دارای یک توزیع تصادفی در یک مایع هستند، بنابراین اگر آن را در یک فاصله اختیاری جابه جا کنیم به همان شکل باقی می­ماند؛ ما می­گویم مایع دارای تقارن انتقالی پیوسته است. بعد از یک گذار فاز، یک مایع می­تواند به یک بلور تبدیل شود در یک بلور، اتم­ها در یک آرایه منظم (یک شبکه) سازمان می­یابند. یک شبکه فقط در صورتی بدون تغییر می­ماند که ما آن را در فواصل خاص جابه‌جا  کنیم (به دفعات صحیح از ثابت شبکه) بنابراین یک بلور تنها تقارن انتقالی گسسته دارد. گذار فاز بین یک جامد و یک بلور گذاری است که تقارن انتقالی پیوسته مایع را به تقارن گسسته بلور کاهش می­دهد. این تغییر در تقارن شکست تقارن نامیده می­شود. ماهیت تفاوت بین جامدات و مایعات این است که آرایش اتم­ها تقارن­های متفاوتی در دو فاز دارد.

    نظریه شکست تقارن لاندائو یک نظریه کاملا موفق بود؛ برای مدت زمان طولانی، فیزیکدانان باور داشتند که نظریه شکست تقارن لاندائو تمام تظم­های موجود در مواد و تمام گذار فاز­های (پیوسته) ممکن را توصیف می­کند. با این حال از اواخر سال ۱۹۸۰، به تدریج آشکار شد که نظریه شکست تقارن لاندائو ممکن است تمام نظم­های ممکن را توصیف نکند.

    در اوایل سال 1981 با کشف اثر هال کوانتومی صحیح و کسری فیزیکدانان متوجه شدن که تقارن به تنهایی فازهای مختلف را نمی­تواند توجیه کند؛ اثر هال کوانتومی در یک نمونه دو بعدی در حالت انبوهه خود نارسانا است اما در مرز نمونه ما حالت­های لبه­ای داریم، جریان بدونه اتلاف را حمل می­کنند که رسانندگی هال را مقدار کوانتیده­ای می­کند. حالت­های مختلف هال با رسانندگی­های کوانتیده، هر کدام توصیف کننده­ی یک نظم مشخص هستند اما با تقارن یکسان، به طوری که در ادامه می­بینیم فاز­هایی با حالت­های رسانا و نارسانا در این اثر ایجاد می­شود. به همین خاطر اثر هال کوانتومی صحیح و کسری نمی­توانند در نظریه شکست تقارنی لاندائو قرار بگیرند و در نتیجه نیاز به نظریه جدیدی برای توصیف این نظم از مواد هستیم.

تاریخ همه‌ی مکانیک (کلاسیک تا کوانتوم) را در اینجا بخوانید

مکانیک کلاسیک جابجایی اجسام تحت اعمال نیروها را به‌صورتی ریاضی بررسی می‌کند. اما چه کسی برای اولین بار ریاضیات را وارد مکانیک کرد؟ گالیلئو گالیله فصل تازه‌ای به کتاب مکانیک افزود. می‌دانید که ریاضیات نشات گرفته از عمیق‌ترین بخش ذهن انسان است. یعنی منطق! ریاضیات منطق محض است. فیزیک با ریاضیات، منطقی‌تر و قابل محاسبه‌تر می‌شود. پس می‌توان از طریق ریاضیات مدل‌های فیزیکی ارائه داد. گالیله در سال 1623، کتابی تحت عنوان مکانیک نوشت. در کتابش مفهوم نیرو را به دنیای فیزیک معرفی کرد. او در آن کتاب حرکت جسمی با شتاب ثابت را در نزدیکی سطح زمین بررسی کرد. 60 سال بعد از او، ایزاک نیوتن، قوانین معروفش را در کتابی به نام اصول ریاضی فلسفه‌ی طبیعی منتشر کرد. در سومین کتابش، یعنی در باب ساختمان جهان، پیچیده‌ترین و حل‌نشدنی‌ترین مساله‌ی دوران خودش را حل کرد. از قانون جهانی گرانش برای تعیین نحوه‌ی حرکت سیاره‌ها استفاده کرد. نیوتن رهیافت تازه‌ای در تحلیل پدیده‌های فیزیکی خلق کرده بود که حتی می‌توانست پدیده‌هایی که از نظر تجربی به‌سختی قابل اندازه‌گیری بودند را پیش‌بینی کند. یک قرن، کاربردهای مکانیک نیوتنی در حل مسائل مختلف فیزیکی، چارچوب جالب و ارزشمندی را برای فیزیک‌دانان رقم زد. نام اویلر را که همه شنیده‌اید؟ او فردی بود که توانست یک چارچوب نظام‌مند را برای حل مسائل اجسام صلب سه بعدی ایجاد کند. نتیجه‌ی کارهایش منجر به مجموعه‌ای از معادلات دینامیکی به نام معادلات حرکت اویلر شد.
نیرو کمیتی برداری و دردساز بود. آرام آرام که این مفهوم به اوج تکاملش نزدیک می‌شد، مفهوم انرژی در کنارش، خودش را نشان داد و پیشرفت کرد. در اواسط قرن نوزدهم اصل پایستگی انرژی کشف شد و سریعاً قوانین ترمودینامیک از آن حاصل شدند. جالب است بدانید، اصول پایستگی، قلب مکانیک نیوتنی است. پایستگی تکانه، انرژی و تکانه زاویه‌ای مکانیک کلاسیک را در قالبی جدید بازنویسی کردند.
به موازات همین دوران، روش های تجربی و ابزارهای ریاضی مکانیک نیوتنی، علاوه بر سیستم‌های صلب (یعنی سیستمی که پیوسته است مثل بدن خود شما! که از بی نهایت ذره‌ی به‌هم چسبیده تشکیل شده است) به سامانه‌ای از ذرات (یعنی تعداد زیادی از ذرات جدا از هم، که به هم نیرو وارد می‌کنند) هم اعمال شد و منجر به مکانیکی شد به نام مکانیک پیوسته!!! دانشمندان از روی همین علم، نظریه‌های پیشتازانه‌ی جدیدی را خلق کردند مثل مکانیک سیالات، مکانیک موجی و الکترومغناطیس! همین علوم به آرامی نظریه‌ای را تکامل بخشید که دنیای فیزیک نوین را متحول کرد. یعنی نطریه‌ی موجی نور! وقتی این نظریه مطرح شد، در ذهن خیلی‌ها تناقض‌های عجیب و غریب و سوالات جالبی به وجود آمد. یکی از این سوالات این بود؟؟؟
آیا نور در داخل ماده‌ی شگفت‌انگیزی منتشر می‌شود، مثلا اتر؟؟؟ چند آزمایش اپتیکی نشان دادند ( آزمایش های مایکلسون- مورلی) که این نظریه اشتباه است.خیلی ها سعی کردند همه چیز را با مکانیک کلاسیک توجیه کنند، اما موفق نشدند. سوالات آنچنان اساسی بود که کل مکانیک کلاسیک را زیر سوال برد. اصلا از همان اول کار، فرض مطلق بودن فضا و زمان اشتباه بود. آلبرت اینشتین، تنها کسی بود که با ارائه‌ی نظریه‌ی نسبیت خاص خود، توانست تناقض بین مکانیک نیوتنی و علم اپتیک را برطرف کند. نسبیت خاص، چارچوبی برای توصیف حرکت اجسامی با سرعت‌هایی قابل مقایسه با سرعت نور را بنا گذاشت (یعنی سرعت‌هایی در محدوده‌ی \(v>0.1c\)).
این نخستین نارسایی علم مکانیک نیوتنی بود. دومین تناقض وقتی به وجود می‌آید که به ابعاد ریز و بسیار کوچک نزدیک شویم! علمی که حرکت ذرات بسیار ریز را توصیف می‌کند، مکانیک آماری است. این علم از ذرات ریز شروع می کند و پلی بین خواص میکروسکوپی و ماکروسکوپی برقرار می کند. اما دقیقاً همین جا متوجه شدیم که مکانیک کلاسیک نمی تواند ویژگی‌های ترمودینامیکی (خواص ماکروسکوپی) گازها را توجیه کند. بهتر بگوییم حتی نمی توانست ویژگی‌های ترمودینامیکی را به صورت کیفی توجیه کند چه برسد به عددی! این جا بود که مکانیک کوانتومی به داد فیزیک رسید! مکانیک کوانتومی فیزیک ذره‌های ریز و کوچک را با دقتی باور نکردنی توصیف می‌کرد.
اما یک جای دیگر کار هم می‌لنگید. فیزیک کلاسیک نمی‌توانست حرکت اجسام بسیار سنگین را هم توصیف کند. طبق یک آزمایش تجربی فهمیدیم، قانون جهانی نیوتن باید جای خودش را با همتای قوی‌ترش یعنی نسبیت عام عوض کند. در انتهای قرن بیستم میلادی و اوایل قرن بیست و یک، مشاهداتی مثل انبساط عالم و خیلی چیزهای دیگر، مفهوم جدیدتری به نام انرژی تاریک را در قالب فیزیک نوین گنجاند. پس باید فکری به حال فرمول بندی فیزیک کنیم تا از این وضعیت اسف بار خارج شویم.

مفهوم نظم و نظم توپولوژی

همان‌طور که در قسمت‌­های قبل گفته شد، حالت‌­های مختلف ماده مثل جامد، مایع، گاز، رسانا، عایق، ابرشاره و…. ساختارهای داخلی متفاوت دارند و بر این اساس گفته می‌شود، که نظم­‌های مختلف دارند. اگر بخواهیم تعریفی از نظم ارائه دهیم باید گفت: دو حالت از یک سیستم بس­ ذره‌­ای، نظم یکسان دارند، اگر بتوانیم با تغییر نرم هامیلتونی و بدون این که تکینگی در انرژی آزاد سیستم ایجاد شود، این دو را به یکدیگر تبدیل کنیم؛ چنین حالاتی معادل هستند و در یک فاز قرار می‌گیرند. حالاتی که نظم­‌های متفاوتی دارند متعلق به فاز­های مختلف هستند. به عنوان مثال آب، بخار و یخ متعلق به سه فاز مختلف‌اند. پس از کشف فاز­های مختلف ماده، نظریه­‌ای نیاز بود تا فهم دقیق­‌تری از حالت­‌های ماده ارائه دهد. در واقع به نظریه‌ای که به ما پاسخ دهد که چه چیزی باعث می‌­شود که که دو نظم متفاوت باشند نیازمند بودیم، ازین‌رو، هنگاهی که دو حالت با تقارن­‌های متفاوت به یکدیگر تبدیل می‌­شوند در انرژی آزاد تکینگی ایجاد می­‌شود. بر اساس رابطه­‌ی بین تقارن ­ها و نظم­‌های مختلف، لاندائو نظریه­‌ی جامعی ارائه داد. به‌عنوان مثال گذار مایع ( تقارن انتقالی پیوسته) به جامد ( تقارن انتقالی گسسته)، تقارن به طور خود به‌خودی شکسته می­‌شود تا سیستم به کمینه انرژی خود برسد، چنین تغییری در تقارن، شکست خودبه‌­خودی تقارن نامیده می‌­شود.

نظم­‌هایی که سیستم­ ها می‌­توانند در دماهای محدود داشته باشند را نظم‌­های کلاسیکی و نظم‌هایی که در دمای صفر دارند را نظم­‌های کوانتومی می‌­نامند. اگر فرض کنیم که سیستم مورد نظر ما در دمای محدود باشد؛ برای هرگونه توصیف ریاضی از آن، نیازمند استفاده از توابع توزیع احتمال هستیم. به عنوان مثال اگر بخواهیم توصیفی از مکان برای یک سیستم شامل N ذره ارائه کنیم، از تابع توزیع احتمال کمک می‌­گیریم که بردار مکان ذره‌­ی i ام است، با تغییر پارامتر­هایی مثل دما یا هر عامل خارجی دیگر، شکل این تابع توزیع عوض می­‌شود. این قبیل پارامتر­های خارجی را به گونه‌­ای تغییر می­‌دهیم که انرژی آزاد سیستم رفتار تکینه ( تابعی غیر­تحلیلی ) در اثر این تغییر از خود نشان ندهد؛ در این صورت دسته ­ای از توابع توزیع به ­دست می­‌آوریم که متعلق به یک فاز هستند. پس نظم کلاسیکی این فاز، توسط توابع توزیع مشابه­ ای قابل توصیف است. در واقع یک نظم کلاسیکی یک خاصیت مشترک بین دسته­‌ای از توابع توزیع احتمال است که لاندائو در نظریه خود به آن بیان کرده است. اگرچه نظریه‌ی لاندائو کمک بزرگی به فهم ما در مورد ارتباط نظم کلاسیکی و تقارن­ های سیستم کرد، اما باید در نظر داشت که در این نظریه، تنها فازهای با دمای محدود در نظر گرفته شده‌اند.

هنگامی که از دمای صفر صحبت می­‌کنیم، سیستم در حالت پایه است. به این ترتیب برای ارائه توصیفی از سیستم کوانتومی از تابع موج حالت پایه سیستم استفاده می­‌کنیم. پس نظم­‌های کوانتومی از جمله ویژگی‌­های تابع موج حالت پایه به شکل است. با در نظر گرفتن این رابطه و توجه به این که نظم کلاسیکی خاصیتی از توابع توزیع احتمال است و نظم کوانتومی خاصیتی از تابع موج حالت پایه است؛ مطابق نظریه لاندائو، نظم‌­های کلاسیکی متناظر با تقارن­‌های سیستم هستند، نتیجه می­‌گیریم که نظم کوانتومی هم باید متناظر با تقارن‌­های کوانتومی و یا به عبارتی ساختار داخلی تابع موج حالت پایه باشند. اگر برهمکنش ( کوانتومی) بین ذره‌­ها را تغییر دهیم در اثر کاهش دما ، برهمکنش اسپین- مدار … ، تابع موج حالت پایه تغییر می­‌کند. تا جایی که این تغییر برهمکنش ­ها به‌گونه­‌ای باشد که تابع موج حالت پایه به صورت پیوسته و نرم تغییر کند، سیستم در همان فاز باقی می‌­ماند و توابع موجی که به دست آورده‌ایم همگی ویژگی‌­های مشترک دارند. کلیه چنین توابعی در یک دسته قرار می‌­گیرند و متعلق به یک نوع نظم کوانتومی هستند و این نظم، خاصیت مشترک بین آن­ها یکسان است. تغییر شدید در برهمکنش بین ذره­ ها موجب می­شود که تغییرات ناگهانی در تابع موج حالت پایه رخ دهد و منجر به گذار فازی به نام گذار فاز کوانتومی شود.

نظم توپولوژی دسته ­ای از نظم­‌های کوانتومی است که با شکست تقارن همراه نیستند به همین علت نظم توپولوژی مفهوم جدیدی است که از تجربه­‌های روزانه ما به دور است و به همین دلیل درک آن کمی دشوار می‌­باشد؛ به عنوان مثال در اثر کوانتومی هال هر کدام از فاکتور­های پرشدگی v نشان دهنده یک حالت است که هر کدام تقارن یکسانی دارند و توسط پدیده­‌ی شکست تقارنی لاندائو قابل تفکیک از یکدیگر نیستند، بنابراین باید نظم­‌های جدیدی داشته باشند. نظم ( داخلی) حالت­‌های هال کوانتومی مربوط به حرکت منظم الکترون­‌ها حول یکدیگر و خطوط میدان مغناطیسی ویا ناخالصی­‌ها است، این نظم جدید، نظم توپولوژی نام دارد.

در سیستم­‌های منظم توپولوژی، تبهگنی حالت­های پایه وابسته به توپولوژی فضاست و از تقارن هامیلتونی ناشی نمی­‌شود؛ هامیلتونی چنین سیستمی گاف­‌دار است و بین حالت­های پایه و برانگیخته (در نظریه نواری، نوار ظرفیت و رسانش نام دارند) گاف انرژی وجود دارد. این گاف انرژی حالت­‌های تبهگن پایه (که ناشی از توپولوژی است) را محافظت می­‌کند. از میان ده کلاس توپولوژی که بر اساس تقارن دسته‌بندی شده‌اند می­‌توان دید یکی از کلاس­‌های منظم توپولوژی که در آن عملگر تقارن وارون زمانی نقش اساسی دارد و برای الکترون­‌ها (دستگاه فرمیونی) ویژه مقادیر مجذور آن، می­‌شود، نارساناهای توپولوژی است و مبحث اصلی در این پایان‌نامه را به خود اختصاص می­دهد؛ خواهیم دید با تغییرات نرم هامیلتونی اصلی سیستم نمی‌­توان به عایق­‌های بدیهی برسیم و حالت­‌های سطحی که به‌وسلیه‌ی تقارن وارون زمانی محافظت می‌­شوند بین دو نوار رسانش و ظرفیت ارتباطی برقرار می‌­کنند.

در مقالات دیگر به بررسی دقیق‌تر این نظم ها خواهیم پرداخت.