مواد مغناطیسی و فیزیک محاسباتی

Name: مواد مغناطیسی و فیزیک محاسباتی
Availability: InStock

وقت خود را با عقل صرفه جوئی کنید

مواد مغناطیسی و فیزیک محاسباتی

دسته بندی:

فیزیک/

0 هزار تومان

قیمت 0 هزار تومان

مدت زمان: 30 روز

سخنران: 10

ویدیو: 12 ساعت

مدرک اتمام کار

شرح دوره

در این دوره آموزشی مواد مغناطیسی با رویکردی ساده بررسی می‌شوند و نحوه پیاده‌سازی و وارد کردن هامیلتونی مغناطیسی در هامیلتونی بلور توضیح داده می‌شود. این دوره بیشتر مناسب دانشجویان فیزیک نظری و محاسباتی است و می‌تواند به درک شما از پدیده‌های مغناطیسی و خلق ایده‌های ممتاز کمک کند. چون ایده‌پردازی مستلزم داشتن پایه‌ای قوی در مباحث نظری است. سطح دوره به‌گونه‌ای است که برای همه‌ی زمینه‌های ذهنی مثال‌های متنوع و قابل درکی به دنبال دارد.

هدف مخاطبان چیست؟

نظریه‌ی تابعی چگالی و مواد مغناطیسی

مشهورترین کاربرد مواد مغناطیسی لایه‌نشانی فیلم‌های نازک برای ذخیره‌ی داده‌هاست که در هارددیسک‌ها و کارت‌های اعتباری استفاده می‌شود. مگنت‌های درون بلندگو و هدست‌ها یا موادی که در موتور خودروهای الکتریکی جدید استفاده می‌شود، نیز مغناطیسی‌اند. بعلاوه‌ی کاربردهایی که از همزیستی چند فاز مختلف ماده ناشی می‌شوند. مثل multiFerroics ها که بشدت مورد علاقه‌اند.
کاربردهای برخی مواد مغناطیسی دوبعدی که میزبان اثر کوانتومی هال هستند، نیز دریچه‌ی جدیدی از کاربردها را باز کرده است. به طور کلی بحث اسپین در همه جای فیزیک چگال ظاهر میشود. پس الزامی است که این موضوع را به طور جدی مطالعه کنیم.

بعلاوه کسانی که در دوره های محاسباتی این وبسایت ثبت نام میکنند، باید این مطالب را بدانند.

برای درک سامانه های بس ذره ای شامل اسپین، ابتدا از یک مدل تک ذره ای آغاز میکنیم.
اعمال میدان مغناطیسی از بیرون و نحوه‌ی اثر آن روی الکترون‌ها رسانش در فلزات، موضوعی است که قابل بحث است. اما مهمتر از آن وقتی است که خود ماده دارای مغناطش ذاتی باشد.
مهم‌ترین کمیتی که بسیار هم در محاسبات کوانتومی به دنبالش هستیم، مغناطش است که برابر با ممان دوقطبی‌ها در واحد حجم است. رابطه‌ی بالا سریعاً به رابطه‌ی زیر برای یک سامانه‌ی کوانتومی می‌رسیم:

$M(H)=-\frac{1}{V} \frac{\partial E_{0}(H)}{\partial H}$

که البته این رابطه برای دمای صفر است. در صورتی که دما افزایش یابد، باید بین میکروحالت‌های مختلف میانگین بگیرید.

برنامه تحصیلی

بخش ۱: معرفی و مقدمه

الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت

سخنرانی

الکترون در میدان مغناطیسی یکنواخت

تقریبا بیشتر مردم برای اینکه یادشان بیافتد، مغناطیس چیست از یک حلقه‌ی جریان استفاده می‌کنند.
پس یک حلقه‌ی دایره‌ای را در نظر بگیرید که حامل جریان الکتریکی است. طبق قانون دست راست، این حلقه دارای میدان مغناطیسی به بیرون صفحه است و اگر این حلقه در میدان مغناطیسی خارجی قرار گیرد، گشتاوری را حس می‌کند که می‌خواهد ممان مغناطیسی آن را بچرخاند تا انرژی این سامانه‌ی کلاسیکی را کمینه کند یا ساده تر بگوییم، همراستا شوند.
اینبار یک الکترون را در نظر بگیرید که روی مداری به شعاع $r$ در حال چرخش است. و صفحه این مدار را بر $xy$ منطبق بگیرید. پس الکترون با سرعت $v$ حول محور $z$ میچرخد.
برای بدست آوردن ممان مغناطیسی آن، به صورت کلاسیکی، می‌توان از همان ترفند حلقه جریان استفاده کرد:

$I=\frac{q}{T}$

بدین معنا که در یک دوره کامل حول دایره، مدت زمان $T$ ثانیه سپری می‌شود. از نظر اندازه برابر است با:

$T=\frac{2\pi r}{v}$

که v سرعت چرخش الکترون است. اندازه ممان نیز با حاصل ضرب جریان در سطح یکی بود:

$\mu=IA$

با جایگذاری به نتیجه زیر دست می‌یابیم:

$\mu=\pi r^2\times(\frac{-ev}{2\pi r})$

یا بهتر بنویسیم:

$\mu=-\frac{e}{2m_e} L$

که $\vec{L}$ نیز تکانه زاویه‌ای مداری است که طبق قانون دست راست باید در جهت $z$ باشد.
پس این تکانه‌ای متناظر با اینست که الکترون در چه شعاع و با چه سرعتی در حال چرخش است. اهمیت تکانه‌ی زاویه‌ای از آنجا ناشی است که دارای بقا است مادامی که گشتاور خارجی به آن اعمال نشود. تمام این حرف‌ها برای کلاسیک صادق است و تکانه‌ی زاویه‌ای مداری می‌تواند هر مقداری را به خودش بگیرید. اما اگر یادتان باشد تکانه‌ی زاویه‌ای برای ذرات پیرامون هسته فقط مقادیر گسسته‌ای به خود می‌گرفت.
در نتیجه یک الکترون در حال چرخش، میدان مغناطیسی برابر با یک دو قطبی مغناطیسی را تولید می‌کند که متناسب با تکانه‌ی زاویه‌ای آن است.
حال اگر همین حلقه‌ی جریان یا الکترون را در یک میدان ارحج مغناطیسی یکنواخت قرار دهید، می‌خواهد در جهت میدان سمتگیری کند تا انرژی پتانسیلی را که کسب کرده، به حداقل برساند:

$U=-\mu.B$

پس انرژی زمانی به کمینه‌اش می‌رسد که جهت میدان و ممان موازی باشند.
همین سامانه‌ی الکترونی کلاسیکی به نظر ساده، بسیار پربحث است و در عمل مدلی بسیار کارامد، و باعث و بانی بسیاری از تحولات بوده است. چون نه تنها تحت یک میدان خارجی است بلکه خودش نیز میدان مغناطیسی درست می‌کند. از همین بحث ساده می‌خواهیم به کمیتی به نام اسپین برسیم که چارچوب مواد مغناطیسی است.

رفتار الکترون در میدان الکترومغناطیسی

بررسی رفتار ذرات در بلور بسیار پیچیده است. ابتدا یک الکترون را بررسی می‌کنیم که در یک میدان الکترومغناطیسی خارجی قرار دارد. پس میدان الکتریکی و مغناطیسی را می توان با پتانسیل‌های اسکالر و برداری الکتریکی و مغناطیسی جایگزین کرد. همچینین چون علاقه‌مند به نوشتن هامیلتونی برای این سامانه هستیم، ابتدا هامیلتونی کلاسیکی آن را بدست می‌آوریم که باید تبدیلات مناسب را اعمال کنیم:

$H=\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e \phi$

نسخه‌ی وابسته به زمان رابطه‌ی کلاسیکی بالا به شکل زیر است:

$i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}\psi(r,t)=[\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e \phi]\psi(r,t)$

معادله‌ی بالا را هم اگر سعی کنیم ساده‌سازی کنیم باز هم اسپین که نقش محوری در مواد مغناطیسی دارد، ظاهر نمی شود.
چند راه برای بازیابی اسپین وجود دارد. یکی از این راه‌ها وارد کردن دستی جمله‌ی اسپینی است و بررسی حالت ایستای معادله‌ی شرودینگر بالا، که ما را به نتایج مطلوب می‌رساند. کافی است مدل ایستای معادله‌ی بالا را ساده‌سازی کنیم و جمله‌ی

$\delta H = \frac{2\mu_B}{\bar{h}}S.B$

را به هامیلتونی اضافه کنیم.
اما میدانیم که ظاهر نشدن این کمیت، بخاطر لحاظ نکردن ملاحظات نسبیتی در معادله‌ی شرودینگر معمولی است. این مشکل را دیراک حل کرد. پس به عنوان راهی جایگزین از معادله‌ی دیراک نیز می‌توان استفاده کرد تا ناوردایی تحت تبدیلات لورنتس حاصل شود (۱۹۲۸):

$i\bar{h}\frac{\partial}{\partial t}\psi_t (r,t)=[c\alpha . (p+eA) -e\phi + \beta m_e c^2]\psi_t (r,t)$

که معادله‌ی فوق معادله‌ی دیراک است که دقیقاً با همان توان اول تابع موج کار می‌کند.
تابع موج دیراک $\psi_t (\vec{r},t)$ دارای شکل زیر است:

$\psi_t (\vec{r},t)= \left(\begin{matrix} \psi(\vec{r},t;1) \\ \psi(\vec{r},t;2) \\ \psi(\vec{r},t;3) \\ \psi(\vec{r},t;4) \end{matrix}\right)$

که به تابع موج بالا ۴-اسپینور می‌گویند. به ۲ عنصر بالایی جز بزرگ دیراک و ۲ عنصر پایینی جز کوچک می‌گویند. برای ساده‌سازی معادله‌ی دیراک تک ذره می‌توان آن را به شکل ۲ معادله نوشت برای اجزا کوچک و بزرگ نوشت:

$\psi_t (\vec{r},t)= \left(\begin{matrix} \psi_1(\vec{r},t) \\ \psi_2(\vec{r},t) \end{matrix}\right)$

که

$\psi_1 (\vec{r},t)= \left(\begin{matrix} \psi(\vec{r},t;1) \\ \psi(\vec{r},t;2) \end{matrix}\right)$

$\psi_2 (\vec{r},t)= \left(\begin{matrix} \psi(\vec{r},t;3) \\ \psi(\vec{r},t;4) \end{matrix}\right)$

با این روش می‌توان معادله‌ی دیراک فوق را با اعمال چندین تقریب به صورت زیر حل کرد و به معادله‌ی زیر دست یافت:

$[\frac{1}{2m_e}(p+eA)^2-e\phi + \frac{2\mu_B}{\bar{h}}S.B]\psi_1=E\psi_1.$

که طبق انتظار جمله‌ی اسپینی نیز در آن ظاهر شده است. همچنین با بسط عبارت فوق به معادله‌ی ساده‌تر شده زیر دست می‌یابیم:

$[\frac{p^2}{2m_e} - e\phi + \frac{\mu_B}{\bar{h}}(L+2S).B+\frac{e}{4}\frac{\mu_B}{\bar{h}}(B\times r)^2]\psi_1=E\psi_1$

عملا ممان دو قطبی مغناطیسی به صورت زیر در می‌آید:

$m=\frac{\mu_B}{\bar{h}}(L+2S).$

و در جمله‌ی ممان دوقطبی مغناطیسی یک تکانه‌ی زاویه‌ای دیگر ظاهر می‌شود، با نام اسپین، که ذاتی خود الکترون است.
پس تا بدین جا توانستیم معادله‌ی شرودینگر نسبیتی یک الکترون در میدان الکترومغناطیس را بدست آوریم. تلاش می‌کنیم در جلسات آینده این هامیلتونی را برای یک سامانه‌ی بس ذره‌ای بنویسیم. از طریق تلگرام و اینستاگرام وبسایت ما را دنبال کنید تا اخبار جدید درباره جلسات سریعتر بدستتان برسد.

معادلات تک ذره

free

الکترون در میدان الکترومغناطیس

پیش از شروع به حل تمرینات، قراردادهای نمادگذاری زیر را در نظر بگیرید:

تابع موج ۴-اسپینوری کلی

$\mathbf{\Psi}_t$

مولفه بزرگ

$\mathbf{\Psi}$

مولفه کوچک

$\mathbf{\psi}$

تمرین ۱

معادله‌ی زیر از جلسه پیش را در نظر بگیرید:

$[\frac{1}{2m_e}(\mathbf{p}+e\mathbf{A})^2-e\phi+\frac{2\mu_B}{\hbar}\mathbf{S}.\mathbf{B}]\mathbf{\Psi}=E\mathbf{\Psi}.$

(۱)
به نظرتان جمله‌ی تکانه‌ی زاویه‌ای $\mathbf{L}$ چگونه در آن ظاهر میشود؟
از معادله‌ی بالا شروع کنید و به معادله‌ی زیر برسید:

$[\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e}-e\phi+\frac{\mu_B}{\hbar}(\mathbf{L}+2\mathbf{S})+\frac{e}{4}\frac{\mu_B}{\hbar}(\mathbf{B}\times\mathbf{r})^2]\mathbf{\Psi}=E\mathbf{\Psi}.$

(۲)

راهنمایی

عبارت عملگری تکانه $\mathbf{P}=-i\hbar\nabla$ است. با توجه به عبارت مگنتون بوهر $\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}$ ، نشان دهید:

$\frac{1}{2m_e}(\mathbf{p}+e\mathbf{A})^2=\frac{\mathbf{p}^2}{2m_e}-i\mu_B(\nabla.\mathbf{A}+\mathbf{A}.\nabla)+\frac{e}{\hbar}\mu_B\mathbf{A}^2.$

(۳)
حالا عملگر $(\nabla.\mathbf{A}+\mathbf{A}.\nabla)$ را روی تابع موج $\psi$ اثر دهید:

$(\nabla.\mathbf{A}+\mathbf{A}.\nabla)\psi=(\nabla.\mathbf{A})\psi+2\mathbf{A}.(\nabla\psi)$

(۴)
نشان دهید پیمانه‌ی $\mathbf{A}$ برحسب $\mathbf{B}$ در معادلات میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی صدق می‌کند:

$\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{B}\times\mathbf{r}$

(۵)
میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی بر حسب پتانسیل‌ها به صورت زیر هستند:

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\nabla\times\mathbf{A}(\mathbf{r},t),$
$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=-\nabla\phi(\mathbf{r},t)-\frac{\partial \mathbf{A}(\mathbf{r},t)}{\partial t},$

(۶)
آیا پیمانه (۵) در معادلات (۶) صدق می‌کند؟
(۴) و (۵) را در معادله‌ی (۳) قرار دهید و معادله‌ی (۲) را بازیابی کنید.

تمرین ۲

جمله‌ی اسپینی از کجا وارد معادله (۱) شده است؟
معادله‌ی دیراک تک ذره‌ی باردار را در نظر بگیرید:

$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\mathbf{\Psi}_t(\mathbf{r},t)=[c\alpha . (\mathbf{p}+e\mathbf{A})-e\phi+\beta m_e c^2]\mathbf{\Psi}_t(\mathbf{r},t)$

(۷)
عبارت $\mathbf{\Psi}_t$ یک ۴-اسپینور بود که آن‌را به دو مولفه‌ی ۲-اسپینوری تقسیم کردیم. به مولفه‌ی اول مولفه‌ی بزرگ و به دوم، مولفه‌ی کوچک تابع موج کل می‌گفتیم. مسلماً $\alpha$ و $\beta$ باید ماتریس‌های ۴*۴ باشند تا بتوانند روی تابع موج کلی اثر کنند. پس می‌توان آنها را به صورت زیر برحسب ماتریس‌های پائولی نوشت:

$\alpha= \left(\begin{matrix} \mathbf{0} & \mathbf{\sigma} \\ \mathbf{\sigma} & \mathbf{0} \end{matrix}\right)$

(۸)
و

$\beta= \left(\begin{matrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{1} \end{matrix}\right)$

(۹)
که در آن $\mathbf{0}$ ماتریس صفر است و $\mathbf{1}$ ماتریس یکه با ابعاد ۲*۲ است. ماتریس‌های پائولی هم به صورت زیر نوشته می‌شوند:

$\mathbf{\sigma}=\sigma_x \mathbf{u}_x+\sigma_y \mathbf{u}_y+\sigma_z \mathbf{u}_z$

(۱۰)
و

$\sigma_x= \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) , \sigma_y= \left(\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix}\right) , \sigma_z= \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right).$

(۱۱)
دوباره به معادله‌ی دیراک نگاهی بیاندازید. یک جمله‌ی هم ارزی انرژی-جرم $m_e c^2$ نیز به هامیلتونی اضافه شده است. البته این تنها تفاوتش با معادله‌ی شرودینگر معمولی نیست.
معادله‌ای که در بالا می‌بینید بسیار پیچیده است. بعلاوه این معادله را برای یک تک ذره نوشته‌ایم- به نظر نمی‌رسد برای مقاصدی مثل DFT مناسب باشد – چون لازم است نمونه‌ی بس ذره‌ای آن حل شود.
برای ساده سازی، مشتق زمانی تابع موج را حذف می‌کنیم و فقط به دنبال پاسخ‌های مانا می‌گردیم. یعنی:

$\mathbf{\Psi}_t(\mathbf{r},t)=\mathbf{\Psi}_t(\mathbf{r})e^{-\frac{iEt}{\hbar}}$

ثابت کنید معادله‌ی ۷ برحسب مولفه‌های بزرگ و کوچک دیراک به صورت زیر ظاهر می‌شوند؟

$(+m_e c^2 - e\phi - E)\mathbf{\Psi}+c \mathbf{\sigma}.(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\mathbf{\psi}=0$

(۱۲)
,

$(-m_e c^2 - e\phi - E)\mathbf{\psi}+c \mathbf{\sigma}.(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\mathbf{\Psi}=0$

(۱۳)
حال $\mathbf{\psi}$ را برحسب $\mathbf{\Psi}$ از معادله ۱۳ بدست آورید و در ۱۲ بنشانید.
نکته : در روند بدست آوردن معادله انرژی الکترون را نسبت به انرژی سکون آن بسنجید. یعنی عبارت:

$E^{\prime}=E-m_e c^2$

(۱۴)
و دوباره $E^\prime=E$ برچسب بزنید.
در نهایت باید به معادله زیر برسید:

$\mathbf{\sigma}.(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\frac{c^2}{2m_e c^2+e\phi + E}\mathbf{\sigma}.(\mathbf{p}+e\mathbf{A})\mathbf{\Psi}-e\phi\mathbf{\Psi}=E\mathbf{\Psi}.$

(۱۵)
مقدار $m_e c^2=0.510MeV$ است. انرژی الکترون نسبت به حالت سکونش و انرژی پتانسیل الکتریکی $e\phi$ مثلاً برای الکترون‌های والانس نباید بیش از چند ده الکترون ولت باشد.
پس این جمله $\frac{c^2}{2m_e c^2+e\phi + E}$ را می‌توان بسط تیلور داد و تنها مرتبه‌ی صفر آن را نگه داشت.
این کار را انجام دهید:

$\frac{c^2}{2m_e c^2+e\phi + E}=\frac{1}{2m_e}\frac{1}{1+\eta}$

(۱۶)
که در آن $\eta=\frac{e\phi + E}{2m_e c^2}~10^{-4}$ است.
رابطه‌ی ۲-اسپینور کوچک را از نظر اندازه با ۲-اسپینور بزرگ قیاس کنید.
راهنمایی: مقدار $\frac{p}{m_e c}$ نشان دهنده‌ی نسبت مولفه‌ی کوچک به بزرگ است – مقدار تکانه را با تکانه‌ی بلوری جایگزین کنید تا مرتبه‌ی بزرگی این نسبت را بدست آورید؟ ( $\hbar k = \hbar \frac{\pi}{a}$ ) . مقدار ثابت شبکه را هم یک مقدار نوعی مثل ۵ آنگستروم در نظر بگیرید.
با توجه مقداری که بدست آورده‌اید، آیا متوجه دلیل نام گذاری آن می‌شوید؟
معادله‌ای را برای مولفه‌ی بزرگ بدست آوردید، را ساده تر کرده و به معادله‌ی ۱ برسید.
در معادله‌ی ۲، یک تکانه‌ی زاویه‌ای ذاتی پیدا شد که ناشی از ماتریس‌های پائولی می‌شد و با نام اسپین شناخته می‌شود. پس کاملاً مشخص شد که اسپین یک موجود کوانتوم نسبیتی است. در کتب مشهوری مثل اشکرافت یا ساکورایی بخش انرژی اسپینی خودبخودی در هامیلتونی ظاهر نمی‌شود- بلکه آن را به صورت دستی اضافه می‌کنند.