همان‌طور که در قسمت‌­های قبل گفته شد، حالت‌­های مختلف ماده مثل جامد، مایع، گاز، رسانا، عایق، ابرشاره و…. ساختارهای داخلی متفاوت دارند و بر این اساس گفته می‌شود، که نظم­‌های مختلف دارند. اگر بخواهیم تعریفی از نظم ارائه دهیم باید گفت: دو حالت از یک سیستم بس­ ذره‌­ای، نظم یکسان دارند، اگر بتوانیم با تغییر نرم هامیلتونی و بدون این که تکینگی در انرژی آزاد سیستم ایجاد شود، این دو را به یکدیگر تبدیل کنیم؛ چنین حالاتی معادل هستند و در یک فاز قرار می‌گیرند. حالاتی که نظم­‌های متفاوتی دارند متعلق به فاز­های مختلف هستند. به عنوان مثال آب، بخار و یخ متعلق به سه فاز مختلف‌اند. پس از کشف فاز­های مختلف ماده، نظریه­‌ای نیاز بود تا فهم دقیق­‌تری از حالت­‌های ماده ارائه دهد. در واقع به نظریه‌ای که به ما پاسخ دهد که چه چیزی باعث می‌­شود که که دو نظم متفاوت باشند نیازمند بودیم، ازین‌رو، هنگاهی که دو حالت با تقارن­‌های متفاوت به یکدیگر تبدیل می‌­شوند در انرژی آزاد تکینگی ایجاد می­‌شود. بر اساس رابطه­‌ی بین تقارن ­ها و نظم­‌های مختلف، لاندائو نظریه­‌ی جامعی ارائه داد. به‌عنوان مثال گذار مایع ( تقارن انتقالی پیوسته) به جامد ( تقارن انتقالی گسسته)، تقارن به طور خود به‌خودی شکسته می­‌شود تا سیستم به کمینه انرژی خود برسد، چنین تغییری در تقارن، شکست خودبه‌­خودی تقارن نامیده می‌­شود.

نظم­‌هایی که سیستم­ ها می‌­توانند در دماهای محدود داشته باشند را نظم‌­های کلاسیکی و نظم‌هایی که در دمای صفر دارند را نظم­‌های کوانتومی می‌­نامند. اگر فرض کنیم که سیستم مورد نظر ما در دمای محدود باشد؛ برای هرگونه توصیف ریاضی از آن، نیازمند استفاده از توابع توزیع احتمال هستیم. به عنوان مثال اگر بخواهیم توصیفی از مکان برای یک سیستم شامل N ذره ارائه کنیم، از تابع توزیع احتمال کمک می‌­گیریم که بردار مکان ذره‌­ی i ام است، با تغییر پارامتر­هایی مثل دما یا هر عامل خارجی دیگر، شکل این تابع توزیع عوض می­‌شود. این قبیل پارامتر­های خارجی را به گونه‌­ای تغییر می­‌دهیم که انرژی آزاد سیستم رفتار تکینه ( تابعی غیر­تحلیلی ) در اثر این تغییر از خود نشان ندهد؛ در این صورت دسته ­ای از توابع توزیع به ­دست می­‌آوریم که متعلق به یک فاز هستند. پس نظم کلاسیکی این فاز، توسط توابع توزیع مشابه­ ای قابل توصیف است. در واقع یک نظم کلاسیکی یک خاصیت مشترک بین دسته­‌ای از توابع توزیع احتمال است که لاندائو در نظریه خود به آن بیان کرده است. اگرچه نظریه‌ی لاندائو کمک بزرگی به فهم ما در مورد ارتباط نظم کلاسیکی و تقارن­ های سیستم کرد، اما باید در نظر داشت که در این نظریه، تنها فازهای با دمای محدود در نظر گرفته شده‌اند.

هنگامی که از دمای صفر صحبت می­‌کنیم، سیستم در حالت پایه است. به این ترتیب برای ارائه توصیفی از سیستم کوانتومی از تابع موج حالت پایه سیستم استفاده می­‌کنیم. پس نظم­‌های کوانتومی از جمله ویژگی‌­های تابع موج حالت پایه به شکل است. با در نظر گرفتن این رابطه و توجه به این که نظم کلاسیکی خاصیتی از توابع توزیع احتمال است و نظم کوانتومی خاصیتی از تابع موج حالت پایه است؛ مطابق نظریه لاندائو، نظم‌­های کلاسیکی متناظر با تقارن­‌های سیستم هستند، نتیجه می­‌گیریم که نظم کوانتومی هم باید متناظر با تقارن‌­های کوانتومی و یا به عبارتی ساختار داخلی تابع موج حالت پایه باشند. اگر برهمکنش ( کوانتومی) بین ذره‌­ها را تغییر دهیم در اثر کاهش دما ، برهمکنش اسپین- مدار … ، تابع موج حالت پایه تغییر می­‌کند. تا جایی که این تغییر برهمکنش ­ها به‌گونه­‌ای باشد که تابع موج حالت پایه به صورت پیوسته و نرم تغییر کند، سیستم در همان فاز باقی می‌­ماند و توابع موجی که به دست آورده‌ایم همگی ویژگی‌­های مشترک دارند. کلیه چنین توابعی در یک دسته قرار می‌­گیرند و متعلق به یک نوع نظم کوانتومی هستند و این نظم، خاصیت مشترک بین آن­ها یکسان است. تغییر شدید در برهمکنش بین ذره­ ها موجب می­شود که تغییرات ناگهانی در تابع موج حالت پایه رخ دهد و منجر به گذار فازی به نام گذار فاز کوانتومی شود.

نظم توپولوژی دسته ­ای از نظم­‌های کوانتومی است که با شکست تقارن همراه نیستند به همین علت نظم توپولوژی مفهوم جدیدی است که از تجربه­‌های روزانه ما به دور است و به همین دلیل درک آن کمی دشوار می‌­باشد؛ به عنوان مثال در اثر کوانتومی هال هر کدام از فاکتور­های پرشدگی v نشان دهنده یک حالت است که هر کدام تقارن یکسانی دارند و توسط پدیده­‌ی شکست تقارنی لاندائو قابل تفکیک از یکدیگر نیستند، بنابراین باید نظم­‌های جدیدی داشته باشند. نظم ( داخلی) حالت­‌های هال کوانتومی مربوط به حرکت منظم الکترون­‌ها حول یکدیگر و خطوط میدان مغناطیسی ویا ناخالصی­‌ها است، این نظم جدید، نظم توپولوژی نام دارد.

در سیستم­‌های منظم توپولوژی، تبهگنی حالت­های پایه وابسته به توپولوژی فضاست و از تقارن هامیلتونی ناشی نمی­‌شود؛ هامیلتونی چنین سیستمی گاف­‌دار است و بین حالت­های پایه و برانگیخته (در نظریه نواری، نوار ظرفیت و رسانش نام دارند) گاف انرژی وجود دارد. این گاف انرژی حالت­‌های تبهگن پایه (که ناشی از توپولوژی است) را محافظت می­‌کند. از میان ده کلاس توپولوژی که بر اساس تقارن دسته‌بندی شده‌اند می­‌توان دید یکی از کلاس­‌های منظم توپولوژی که در آن عملگر تقارن وارون زمانی نقش اساسی دارد و برای الکترون­‌ها (دستگاه فرمیونی) ویژه مقادیر مجذور آن، می­‌شود، نارساناهای توپولوژی است و مبحث اصلی در این پایان‌نامه را به خود اختصاص می­دهد؛ خواهیم دید با تغییرات نرم هامیلتونی اصلی سیستم نمی‌­توان به عایق­‌های بدیهی برسیم و حالت­‌های سطحی که به‌وسلیه‌ی تقارن وارون زمانی محافظت می‌­شوند بین دو نوار رسانش و ظرفیت ارتباطی برقرار می‌­کنند.

در مقالات دیگر به بررسی دقیق‌تر این نظم ها خواهیم پرداخت.