این مطلب از مقاله «میکروربات‌ها و سیستم‌های میکرومکانیکی» نوشته WSN Trimmer، Sensors and Actuators ، جلد ۱۹، شماره ۳، سپتامبر ۱۹۸۹، صفحات ۲۶۷ تا ۲۸۷، و منابع دیگر اقتباس شده است. کتاب « میکرومکانیک و MEMS » این مقاله و مقالات جالب دیگری در مورد سیستم‌های مکانیکی کوچک دارد؛ منتشر شده توسط انتشارات IEEE، شماره PC4390، ISBN 0-7803-1085-3. تحلیل دقیق‌تر مقیاس‌بندی نیروهای الکترومغناطیسی در پیوست «میکروربات‌ها و سیستم‌های میکرومکانیکی» ارائه شده است. 

توصیف خوبی از مقیاس‌بندی در «نمادگذاری براکت عمودی تریمر» در کتاب « مبانی ریزساخت » نوشته مارک مادو، شابک ‎0-8493-9451-1، انتشارات CRC، ۱۹۹۷، ارائه شده است.

برای طراحی محرک‌های میکرومکانیکی، درک چگونگی مقیاس‌بندی نیروها مفید است. یک نمادگذاری ساده برای درک قوانین و معادلات نیروی چندگانه در زیر شرح داده شده است. این نمادگذاری برای توصیف چگونگی مقیاس‌بندی نیروهای مختلف در دامنه کوچک (و بزرگ) استفاده می‌شود.

این مقاله از یک فرمالیسم ماتریسی برای توصیف قوانین مقیاس‌بندی استفاده می‌کند. این نامگذاری تعدادی از قوانین نیروی مختلف را در یک معادله واحد نشان می‌دهد. در این نمادگذاری، اندازه سیستم با یک متغیر مقیاس واحد، S، نشان داده می‌شود که نشان‌دهنده مقیاس خطی سیستم است. انتخاب S برای یک سیستم کمی دلخواه است. S می‌تواند فاصله بین صفحات یک خازن باشد، یا می‌تواند طول یک لبه خازن باشد. با این حال، پس از انتخاب، فرض می‌شود که تمام ابعاد سیستم با کاهش S به طور مساوی کوچک می‌شوند (مقیاس‌بندی ایزومتریک). به عنوان مثال، به طور اسمی S = 1؛ اگر S به 0.1 تغییر یابد، تمام ابعاد سیستم با ضریب ده کاهش می‌یابند. تعدادی از حالت‌های مختلف در یک معادله نشان داده شده است. به عنوان مثال،
 
 

چهار حالت برای قانون نیرو نشان می‌دهد. مقیاس قانون نیروی بالا S، مقیاس بعدی S به توان دو یا S² است، بعدی S³ و پایین S⁴ است. مقیاس‌بندی زمان مورد نیاز برای حرکت یک جسم با استفاده از این نیروها به صورت زیر است:
  

عنصر بالایی در معادله ۲، S ^1.5 است. به این ترتیب، وقتی نیرو به صورت S¹ تغییر می‌کند، زمان تغییر می‌کند . عنصر دوم نشان می‌دهد که وقتی نیرو به صورت S² تغییر می‌کند، t به صورت S¹ تغییر می‌کند . عنصر سوم و چهارم نشان می‌دهند که وقتی نیرو به ترتیب به صورت S³   و S⁴ تغییر می‌کند، زمان چگونه تغییر می‌کند. این نمادگذاری به طور مداوم در سراسر این مقاله استفاده می‌شود. خط تیره [—] به این معنی است که این حالت اعمال نمی‌شود.

این نمادگذاری براکت عمودی می‌تواند برای سایر قوانین مقیاس‌بندی استفاده شود. به عنوان مثال، اگر کسی بخواهد، عنصر بالایی می‌تواند به حالتی اشاره کند که نیرو به صورت S⁶ تغییر می‌کند. یا عنصر بالایی می‌تواند حالتی را نشان دهد که شتاب به صورت S¹ تغییر می‌کند و عنصر دوم حالتی را نشان می‌دهد که شتاب به صورت S² تغییر می‌کند، … . این براکت‌های عمودی را می‌توان برای راحتی مسئله مورد نظر تعریف کرد. تنها چیزی که مورد نیاز است، تعریف اولیه از چیزی است که هر عنصر نشان می‌دهد. (معادله ۱ در مورد فعلی ما این تعریف است.)

نیروهای مغناطیسی

این بخش به بررسی مقیاس‌بندی نیروهای مغناطیسی ناشی از برهمکنش‌های جریان‌های الکتریکی می‌پردازد. سه حالت بررسی می‌شود: الف) افزایش دمای ثابت از مرکز به خارج سیم‌پیچ‌های کویل، ب) جریان گرمای ثابت در واحد سطح سیم‌پیچ‌های کویل، و ج) چگالی جریان الکتریکی ثابت در سیم‌پیچ‌های کویل. فرض الف) منجر به نیروهایی می‌شود که مقیاس آنها S² است، فرض ب) منجر به نیروهایی می‌شود که مقیاس آنها S³ است، و فرض ج) منجر به نیروهایی می‌شود که مقیاس آنها S⁴ است. این سه حالت در معادله ۲.۵ نشان داده شده‌اند. استخراج این مقیاس‌بندی نیرو نیاز به کمی ریاضیات دارد و در اینجا ارائه نخواهد شد. این استخراج در پیوست «میکروربات‌ها و سیستم‌های میکرومکانیکی» ارائه شده است.  



  

مقیاس‌بندی نیروی فوق برای حالتی است که دو جریان الکتریکی با هم برهم‌کنش دارند. با کاهش S، این نیروها کاهش می‌یابند زیرا تولید میدان‌های مغناطیسی بزرگ با سیم‌پیچ‌های کوچک سیم (آهنرباهای الکتریکی) دشوار است. با این حال، آهنرباهای دائمی با کوچک شدن اندازه، قدرت خود را حفظ می‌کنند و اغلب طراحی سیستم‌های مغناطیسی که از برهم‌کنش بین یک آهنربای الکتریکی و یک آهنربای دائمی استفاده می‌کنند، سودمند است. در بحث زیر، مقیاس‌بندی بین دو آهنربای الکتریکی در براکت‌های مربعی [Sⁿ] و مقیاس‌بندی بین یک آهنربای دائمی و یک آهنربای الکتریکی در براکت‌های مجعد {Sⁿ} داده خواهد شد. حالت ج) در اینجا چگالی جریان J ثابت یا J=S⁰ فرض می‌شود و از این رو سیمی با یک دهم مساحت، یک دهم جریان را حمل می‌کند. گرمای تولید شده به ازای هر حجم سیم‌پیچ‌ها برای این حالت ثابت است. نیروی تولید شده برای این حالت جریان ثابت به صورت [S⁴] {S³} مقیاس‌بندی می‌شود، یعنی وقتی سیستم ده برابر کوچک‌تر می‌شود، نیروی تولید شده توسط دو آهنربای الکتریکی برهمکنش‌کننده به اندازه (1/10) ⁴ یا ده هزار برابر کاهش می‌یابد. واضح است که این یک نیروی بسیار کوچک قوی نیست. (با این حال، در مقیاس کهکشانی، نیروهای مغناطیسی واقعاً چشمگیر می‌شوند. با نگاه به بازوهای مارپیچی کهکشان‌های S و SB، من تعجب می‌کنم که چگونه این میدان‌های مغناطیسی بزرگ بر پیچش پیچیده ماده کهکشانی تأثیر می‌گذارند.)

حالت ب) از آنجایی که گرما را می‌توان راحت‌تر از یک حجم کوچک هدایت کرد، می‌توان موتورهای کوچک ایزوله با چگالی جریان بالاتر از آنچه در بالا فرض شده است را به کار انداخت. با این حال، افزایش چگالی جریان، موتورها را بسیار کم‌بازده‌تر می‌کند. (توجه داشته باشید که قطعات الکترونیکی معمولاً بسیار بیشتر از اجزای میکرومکانیکی توان را هدر می‌دهند و توان مورد استفاده موتور اغلب ناچیز است.) اگر جریان گرما در واحد سطح سیم‌پیچ‌ها ثابت باشد، چگالی جریان در سیم‌ها به صورت J = S ^-0.5 تغییر می‌کند. این افزایش چگالی جریان برای سیستم‌های کوچک، نیروی تولید شده را افزایش می‌دهد و نیرو به صورت [S³] {S^2.5} تغییر می‌کند. حالت الف )سومین محدودیت ممکن برای سیستم مغناطیسی با کوچک شدن آن، حداکثر دمایی است که سیم و عایق می‌توانند تحمل کنند. اگر پارامترهای سیستم به گونه‌ای تغییر کنند که اختلاف دمای ثابتی بین سیم‌پیچ‌ها و محیط اطراف وجود داشته باشد، چگالی جریان به صورت J = (S ^-1 ) و نیرو به صورت [S²] {S²} تغییر می‌کند. همانطور که بعداً مورد بحث قرار خواهد گرفت، نیروهایی که به صورت (S²) تغییر می‌کنند، در سیستم‌های کوچک مفید هستند. از این رو در بسیاری از طراحی‌های میکرو، استفاده از افزایش شدید چگالی جریان فرض شده در حالت الف می‌تواند مفید باشد.

به طور خلاصه، جریان‌های مورد نیاز برای قوانین مختلف نیرو به صورت زیر مقیاس‌بندی می‌شوند:
 
 

این مقیاس‌بندی‌های فعلی نتیجه فرضیات در حالت الف، حالت ب و حالت ج هستند و نیروها را ایجاد می‌کنند:



در طراحی میکروالکترومغناطیس‌ها، باید مهاجرت الکتریکی را نیز در نظر گرفت. در چگالی جریان‌های بالا، سیم‌های ریز توسط جریان تغییر شکل می‌دهند و سیم می‌تواند بشکند. به عنوان مثال، اتصالات نازک آلومینیومی در چگالی جریان‌های بالاتر از \(5\times 10^{5} \frac{A}{cm^{2}}\) ، حفره‌ها و برآمدگی‌هایی را نشان می‌دهند که می‌تواند منجر به خرابی سیم‌پیچ شود. دما، ترکیب و مدت زمان استفاده از هادی تأثیر زیادی بر مهاجرت الکتریکی دارد. (منابع: [1] A.Scorzoni و همکاران، “رفتار مقاومت غیرخطی در مراحل اولیه و پس از مهاجرت الکتریکی در خطوط Al-Si”، J. Appl. Phys.، 80 (1)، صفحه 143 (1996). و [2] A.Scorzoni، I.De Munari و H. Stulens، “تکنیک‌های الکتریکی غیرمخرب به عنوان وسیله‌ای برای درک مکانیسم‌های اساسی مهاجرت الکتریکی”، مجموعه مقالات سمپوزیوم MRS، جلد 337، صفحات 515–526 (1994).)

نیروهای الکترواستاتیک

محرک‌های الکترواستاتیک تاریخچه‌ی برجسته‌ای دارند، اما به‌طورکلی برای موتورها استفاده نمی‌شوند. (اگر می‌توانید، یک نسخه از کتاب جذاب OD Jefimenko با عنوان “موتورهای الکترواستاتیک” که توسط شرکت Electret Science، Starcity، 1973 منتشر شده است را تهیه کنید. پیدا کردن آن دشوار است، اما شامل تصاویر زیبایی از موتورهای الکترواستاتیک اولیه است.) با این حال، نیروهای الکترواستاتیک در حوزه میکرو اهمیت پیدا می‌کنند و کاربردهای بالقوه‌ی بی‌شماری دارند. شکل دقیق مقیاس‌بندی نیروهای الکترواستاتیک به نحوه‌ی تغییر میدان E با اندازه بستگی دارد. به‌طورکلی، میدان E فروشکست عایق‌ها با کوچک‌تر شدن سیستم افزایش می‌یابد. در اینجا دو مورد بررسی خواهد شد: (1) میدان E ثابت (E=S⁰) ؛ و (2) یک میدان E که با کوچک‌تر شدن سیستم کمی افزایش می‌یابد (E=S^-0.5). این مورد دوم، میدان‌های E فزاینده‌ای را نشان می‌دهد که می‌توان با کوچک‌تر شدن سیستم از آن‌ها استفاده کرد. (یک مقاله اولیه از پاشن، افزایش میدان شکست E را با کوچک‌تر شدن شکاف مورد بحث قرار می‌دهد. F. Paschen، Uber die zum Funkenubergang in Luft, Wasserstoff and Kohlensaure bei verschiedenen Drucken erforderliche Potentialdifferenz. Annalen der Physick, 37:69-96, 1889. همچنین کتاب “مبانی ریزساخت” اثر مارک مادو، شرح و نمودار منحنی پاشن را در صفحه 59 دارد.) برای میدان الکتریکی ثابت (E=S⁰ ) ، نیرو به صورت S² مقیاس‌بندی می‌شود. وقتی E به صورت S ^-0.5 مقیاس‌بندی شود ، نیرو مقیاس‌بندی بهتری به صورت F=S¹ خواهد داشت. وقتی اندازه سیستم کاهش می‌یابد، هر دوی این قوانین نیرو، شتاب‌های فزاینده و زمان‌های گذر کمتری را ارائه می‌دهند.

  
نیروهای دیگر

چندین نیروی جالب دیگر نیز وجود دارد. نیروهای بیولوژیکی ناشی از عضله متناسب با سطح مقطع عضله هستند و به صورت S² نشان داده می‌شوند. نیروهای پنوماتیکی و هیدرولیکی ناشی از فشارها (P) هستند و همچنین به صورت S² نشان داده می‌شوند. نیروهای بزرگ را می‌توان در حوزه میکرو با استفاده از نیروهای مرتبط با فشار ایجاد کرد. کشش سطحی مقیاس‌بندی کاملاً لذت‌بخشی از S¹ دارد، زیرا به طول سطح مشترک بستگی دارد.

 
مکعب واحد

در زیر بحثی در مورد چگونگی تأثیر قوانین نیروی فوق بر شتاب، زمان عبور، تولید و اتلاف توان با مقیاس‌بندی در دامنه‌های کوچکتر ارائه شده است. برای رفتن از اینجا به آنجا با حداکثر سرعت ممکن با یک نیروی مشخص، فرد می‌خواهد نیمی از مسافت را شتاب بگیرد و سپس سرعتش کاهش یابد. جرم جسم با S³ مقیاس می‌شود (فرض می‌شود چگالی شدتی است یا با مقیاس تغییر نمی‌کند). اکنون شتاب توسط معادلات دینامیک به صورت زیر داده می‌شود:
 
 

و زمان عبور برابر است با:

که در آن S^F مقیاس نیروی F را نشان می‌دهد. در اینجا فقط زمان شتاب گرفتن محاسبه شده است، اما برای کاهش سرعت نیز به زمان مساوی نیاز است و هر دوی این زمان‌ها به یک شکل مقیاس می‌شوند. برای نیروهای داده شده در معادله (1)، شتاب‌ها و زمان‌های انتقال را می‌توان به صورت زیر بیان کرد:
 
 و

 
حتی در بدترین حالت، که در آن F=S⁴ (عنصر پایینی)، زمان لازم برای انجام یک کار با کوچک شدن سیستم ثابت می‌ماند، t=S⁰. در مقیاس‌بندی نیروی مطلوب‌تر، به عنوان مثال، حالت مقیاس‌بندی F=S²، زمان مورد نیاز با مقیاس t=S¹ کاهش می‌یابد.
 
یک سیستم ده برابر کوچکتر می‌تواند یک عملیات را ده برابر سریع‌تر انجام دهد. این مشاهده‌ای است که ما به طور شهودی می‌دانیم: چیزهای کوچک تمایل به سرعت دارند. نیروهای اینرسی در حوزه کوچک تمایل به بی‌اهمیت شدن دارند و در بسیاری از موارد، سینماتیک ممکن است جایگزین دینامیک شود. این احتمالاً منجر به استراتژی‌های کنترلی جدید و جالبی خواهد شد.
 

توان تولید شده و اتلاف شده

با تغییر مقیاس یک سیستم، می‌خواهیم بدانیم که چگونه توان تولید شده به قوانین نیرو بستگی دارد. به عنوان مثال، مکعب واحد بالا را در نظر بگیرید که ابتدا شتاب می‌گیرد و سپس شتاب آن کاهش می‌یابد. توان، P، یا کار انجام شده روی جسم در واحد زمان عبارت است از
 

 
 

مقیاس‌بندی هر یک از عبارات سمت راست مشخص است.
 
 

توانی که می‌تواند در واحد حجم تولید شود (V=S³ ) برابر است با :

وقتی نیرو به صورت S² تغییر می‌کند، توان بر واحد حجم به صورت S ^-1 تغییر می‌کند. برای مثال، وقتی مقیاس ده برابر کاهش می‌یابد، توانی که می‌تواند در واحد حجم تولید شود، ده برابر افزایش می‌یابد. برای قوانین نیرو با توان بالاتر از S²، توان تولید شده در واحد حجم با کاهش اندازه مقیاس کاهش می‌یابد. چندین قانون نیروی جاذبه وجود دارد که مانند S² رفتار می‌کنند و باید سعی کرد هنگام طراحی سیستم‌های کوچک از این نیروها استفاده کرد. (لطفاً به یاد داشته باشید، این قوانین نیرو به فرضیات کلی بستگی دارند، همیشه جایی برای هوشمندانه عمل کردن وجود دارد.)
 
در مورد مغناطیسی، ممکن است نگران توان تلف شده توسط اتلاف مقاومتی سیم‌ها باشیم. توان ناشی از این اتلاف مقاومتی، P_R، برابر است با
 

که در آن A سطح مقطع سیم، (rho) مقاومت ویژه سیم و L طول سیم است. این رابطه را می‌دهد:
 
 

 

که در آن (AL) حجم است. مقاومت ویژه به صورت S⁰ و حجم به صورت S³ مقیاس‌بندی می‌شود و  از معادله   (3) بالا،
 
 

از این رو توان تلف شده به صورت زیر مقیاس بندی می‌شود:

و توان در واحد حجم برابر است با:

برای حالت مغناطیسی الف) که نیرو به صورت S² مقیاس‌بندی می‌شود ، توانی که باید در واحد حجم تلف شود به صورت S^-2 مقیاس‌بندی می‌شود، یا وقتی مقیاس ده برابر کاهش می‌یابد، باید صد برابر توان در یک حجم مشخص تلف شود. این حالت مغناطیسی اگر نگران چگالی توان یا میزان خنک‌سازی مورد نیاز باشیم، بد است. اگر اتلاف توان یا خنک‌سازی یک نگرانی اساسی نباشد، این حالت مقیاس‌بندی نیروهای قابل توجه‌تری تولید می‌کند. در آینده، ابررساناها ممکن است میکرومغناطیس‌های قوی‌تری به ما بدهند.
 

خلاصه نتایج مقیاس‌بندی

مشخص شده است که نیرو به یکی از چهار روش مختلف تغییر می‌کند: [S ¹ ]، [S ² ]، [S ³ ] و [S ⁴ ]. اگر اندازه مقیاس ده برابر کاهش یابد، نیروها برای این قوانین مختلف به ترتیب ده، صد، هزار و ده هزار کاهش می‌یابند. در بیشتر موارد، فرد می‌خواهد با قوانین نیرویی کار کند که مانند [S ¹ ] یا [S ² ] رفتار می‌کنند. موارد مختلفی که منجر به این قوانین نیرو می‌شوند، شتاب‌ها، زمان‌های انتقال و توان تولید شده در واحد حجم در زیر آورده شده است.

و
 
 

برای قوانین نیرویی که به صورت [S¹] یا [S²] رفتار می‌کنند، شتاب با کوچک‌تر شدن سیستم افزایش می‌یابد. توانی که می‌تواند در واحد حجم تولید شود نیز برای این دو قانون افزایش می‌یابد. کشش سطحی به طور مطلوبی افزایش می‌یابد، [S¹] ، با این حال، مشخص نیست که چگونه می‌توان از این نیرو در اکثر کاربردها استفاده کرد. نیروهای بیولوژیکی نیز به خوبی افزایش می‌یابند، [S²] ، اما پیاده‌سازی آنها ممکن است دشوار باشد. به نظر می‌رسد نیروهای الکترواستاتیک و فشار مرتبط، نیروهای کاملاً مفیدی در حوزه کوچک باشند.

متن اصلی مقاله: https://www.trimmer.net/mems/Scale.html