ark6570@gmail.com
×

روش‌های عددی در مکانیک کوانتومی (نسخه متنی)

شرح دوره

هدف این کتاب آنلاین ارائه‌ی مقدمه‌ای در باب روش‌های عددی در مکانیک کوانتومی است. شما در این سلسله آموزش‌ها می‌توانید مسائل ساده مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی را حل کنید. بیشتر تمرکز این کتاب روی فیزیک ماده چگال و اتمی است.
کتاب یک بخش نظری و یک بخش آزمایشگاهی دارد. در بخش آزمایشگاهی با پیاده‌سازی الگوریتم‌های رایانه‌ای در فیزیک، به صورت کاملا عملی برخورد خواهید کرد که می‌توانید درک‌تان را نسبت به مسائل فیزیک گسترش دهید. البته این مهم از نقطه نظر تکنولوژی و کاربردی خواهان، بسیار دارد. با کسب چنین دانشی ابزار کار را در اختیار می‌گیرید و علاوه بر آن دید وسیع‌تر و ایده‌های بیشتری به ذهن‌تان خواهد رسید.
کدهایی که در این کتاب آنلاین ارائه می‌دهیم کاملا کاربردی بوده و در کدهای مدرن و امروزی نیز مورد استفاده است. پس از دانشجویان و مخاطبین کتاب انتظار می‌رود این کدها را تحلیل کرده و تحت شرایط مختلف اجرا کنند. مهم‌تر از هر چیزی باید توابع را با دادن ورودی‌های مختلف ارزیابی و خروجی آن‌ها را از دید فیزیکی تحلیل کنند. خواننده باید بتواند کدها را دستکاری یا اصلاح کند و کارکردهای جدیدی را به آن بیافزاید. کتابی که به خواننده توصیه می‌شود تا مفاهیم بنیادین کوانتومی را بیاموزد یا بیاد آورد، مکانیک کوانتومی گریفیتس است.
زبان برنامه نویسی
انتظار می‌رود با مفاهیم برنامه نویسی فانکشنال و شئ گرا آشنا داشته باشید. همچنین از زبان برنامه نویسی پایتون در این دوره آموزشی استفاده می‌شود. ترجیحا از سیستم عامل لینوکس یا مک OS-X استفاده کنید. علیهذا مادامی که نرم افزارها روی رایانه شما نصب شوند استفاده از ویندوز هم امکان پذیر است.
ابزارهای نمایش
نمایش داده‌های تولید شده به وسیله کدهایی که در این کتاب بیان می‌شود مثل توابع موج، چگالی بار یا دیگر کمیت‌های فیزیکی در تحت تاثیر قرار دادن تحلیل ما از نتایج سهمی عمده دارد. از کتابخانه ‌Matplotlib زبان پایتون برای رسم نمودارهای ۲ بعدی و ۳ بعدی استفاده خواهد شد.

نیازمندیها

  • آشنایی با برنامه نویسی
  • آشنایی با مکانیک کوانتومی

بخش ۱ معرفی و مقدمه

هدف این کتاب ارائه‌ی مقدمه‌ای در باب روش‌های عددی در مکانیک کوانتومی است. شما در این سلسله آموزش‌ها می‌توانید مسائل ساده مکانیک کوانتومی غیر نسبیتی را حل کنید. بیشتر تمرکز این کتاب روی فیزیک ماده چگال و اتمی است.

کتاب یک بخش نظری و یک بخش آزمایشگاهی دارد. در بخش آزمایشگاهی با پیاده‌سازی الگوریتم‌های رایانه‌ای در فیزیک، به صورت کاملا عملی برخورد خواهید کرد که می‌توانید درک‌تان را نسبت به مسائل فیزیک گسترش دهید. البته این مهم از نقطه نظر تکنولوژی و کاربردی خواهان بسیار دارد. با کسب چنین دانشی ابزار کار را در اختیار می‌گیرید و علاوه بر آن دید وسیع‌تر و ایده‌های بیشتری به ذهن‌تان خواهد رسید.

کدهایی که در این کتاب ارائه می‌دهیم کاملا کاربردی بوده و در کدهای مدرن و امروزی مورد استفاده است. پس از دانشجویان و مخاطبین کتاب انتظار می‌رود این کدها را تحلیل کرده و تحت شرایط مختلف اجرا کنند. مهم‌تر از هر چیزی باید توابع را با دادن ورودی‌های مختلف ارزیابی و خروجی آن‌ها را از دید فیزیکی تحلیل کنند. خواننده باید بتواند کدها را دستکاری یا اصلاح کند و کارکردهای جدیدی را به آن بیافزاید. کتابی که به خواننده توصیه می‌شود تا مفاهیم کوانتومی را بیاموزد یا بیاد آورد، مکانیک کوانتومی گریفیتس است.

زبان برنامه نویسی

انتظار می‌رود با مفاهیم برنامه نویسی فانکشنال و شئ گرا آشنا داشته باشید. همچنین از زبان برنامه نویسی پایتون در این دوره آموزشی استفاده می‌شود. ترجیحا از سیستم عامل لینوکس یا مک OS-X استفاده کنید. علیهذا مادامی که نرم افزارها روی رایانه شما نصب شوند استفاده از ویندوز هم امکان پذیر است.

ابزارهای نمایش

نمایش داده‌های تولید شده به وسیله کدهایی که در این کتاب بیان می‌شود مثل توابع موج، چگالی بار یا دیگر کمیت‌های فیزیکی در تحت تاثیر قرار دادن تحلیل ما از نتایج سهمی عمده دارد. از کتابخانه ‌Matplotlib زبان پایتون برای رسم نمودارهای ۲ بعدی و ۳ بعدی استفاده خواهد شد. علاوه بر آن از کد Gnuplot استفاده خواهد شد. مستندات کد Gnuplot را در لینک زیر ببینید:
http://www.gnuplot.info/help.html

معادله شرودینگر یک بعدی

فصل ۱

معادله شرودینگر یک بعدی

در این فصل با یک نوسانگر هماهنگ شروع می‌کنیم و یک روش عددی کلی برای حل معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی ارائه خواهیم کرد. ابتدا با پاسخ تحلیلی مساله آغاز و سپس الگوریتم انتگرال‌گیری نومروف (Numerov) را معرفی می‌کنیم. براحتی می‌توان این روش را به دیگر پتانسیل‌‌های مشابه اعمال کرد.
ذره‌ای به جرم \(m\) تحت پتانسیل \(V(x)\) یک بعدی و مستقل از زمان شرودینگر به صورت زیر خواهد بود:

\(-frac{bar{h}^2}{2m}frac{d^2psi(x)}{dx^2}+V(x)psi(x)=Epsi(x),hspace{10mm} (1-1)\)

که در آن \(psi(x)\) تابع موج است که می‌توان مقدار ان را حقیقی در نظر گرفت. هدف این متن بیشتر طیف گسسته است: یعنی مقادیر انرژی منزوی برای معادله ۱-۱که دارای پاسخ‌های بهنجار و جایگزیده در فضای مکان است.

۱-۱ نوسانگر هماهنگ ساده:

نوسانگر هماهنگ ساده یک مساله بنیادین در دینامیک کلاسیک و به تبع آن مکانیک کوانتومی است. این مساله به ظاهر ساده ارائه گر سامانه‌ای است که نیروهای جاذب در آن حضور داشته و بنیانی اساسی بر تمامی مسائل و پدیده‌های ارتعاشی است. برای مثال ارتعاشات حول مکان تعادلی سیستمی متشکل از ذرات برهمکنشی را می‌توان با یک تبدیل دستگاه مختصات مناسب به نوسانگرهای هماهنگ مستقل (مدهای نرمال ارتعاشی) تبدیل کرد. دقیقا همین موضوع در مکانیک کوانتومی نیز صادق است. پس پرواضح است که مطالعه این سیستم به ما درکی بسیار عمیق از کوانتش و آثار آن و همچنین توابع موج حالت‌های مقید ارائه خواهد داد.
نخست در این فصل نتایج حاصل از نظریه نوسانگرهای هماهنگ ساده را یادآوری می کنیم و سپس به سراغ موردی می‌رویم که بتوان با نوشتن یک کد رایانه‌ای، معادله شرودینگر نوسانگر هماهنگ ساده را به صورت عددی حل کرد.
کد حاصل را می‌توان به راحتی تغییر داده و به ازای پتانسیل‌های مختلف برهمکنشی به کار گرفت. این موضوع ما را در مسیری قرار می‌دهد که بتوانیم مسائلی غیر از نوسانگر هماهنگ که دارای پاسخ‌های تحلیلی ساده نیستند را نیز مطالعه کنیم.

۱-۱-۱ واحدها:

معادله شرودینگر یک نوسانگر هماهنگ ساده یک بعدی به صورت زیر است:

\( frac{d^2psi(x)}{dx^2} = frac{bar{h}^2}{2m}(E-frac{1}{2}Kx^2)psi(x), hspace{10mm} (1-2)\)

که در آن \(K\) ثابت نیرو است (‌نیرو روی جرم m برابر است با \(F = -Kx \) که متناسب با جابجایی \( x \) و در جهت مرکز است). از نظر کلاسیکی نیز نوسانگر دارای بسامد است:

\(omega = sqrt{frac{K}{m}},hspace{10mm} (1-3)\)

برای راحتی با واحدهای بدون یکا می‌کنیم. این واحدها در کد انتهای این فصل استفاده می‌شوند. اولین متغیر بدون یکا \(xi\) است که در زیر تعریف شده است:

\(xi = (frac{mK}{bar{h}^2})^{frac{1}{4}}x = (frac{momega}{bar{h}})^{frac{1}{2}}x,,hspace{10mm} (1-4)\)

که همچنین متغیر \(epsilon\) :

\(epsilon = frac{E}{bar{h}omega},hspace{10mm} (1-5)\)

و با این تغییرات معادله شرودینگر به صورت زیر تغییر می‌کند:

\( frac{d^2psi}{dxi^2} = -2(epsilon – frac{xi^2}{2})psi(xi),hspace{10mm} (1-6)\)

و به این ترتیب معادله شرودینگر در فرم بدون یکا نوشته می‌شود.

پاسخ تحلیلی و دقیق نوسانگر هماهنگ

پاسخ دقیق

به راحتی می‌توان دید که به ازای مقادیر بزرگ \(xi\) (یعنی بتوان مقدار \(epsilon\) را نادیده گرفت) پاسخ معادله دارای رفتار مجانبی زیر خواهد بود:

\(psi(xi) sim xi^2e^{pmfrac{xi^2}{2}},hspace{10mm} (1-7)\)

که \(n\) هر مقداری می‌تواند داشته باشد. پاسخ با علامت مثبت را به هر حال نباید لحاظ کرد. چون منجر به پاسخ‌های غیر فیزیکی و واگرا می‌شود ( در این صورت ذره بجای این‌که تمایل به حرکت در امتداد مرکز تعادل را داشته باشد، از مرکز دور خواهد شد و ویژگی الاستیکی خود را از دست خواهد داد). پس بهتر است عبارت فوق را به شکل زیر بازنویسی کرد:

\(psi(xi) = H(xi)e^{-frac{xi^2}{2}},hspace{10mm} (1-8)\)

که در عبارت فوق \(H(xi)\) تابعی خوش رفتار به ازای مقادیر بزرگ \(xi\) است (پس رفتار مجانبی به وسیله تابع نمایی \( e^{-frac{xi^2}{2}} \) تعیین می‌شود). هدف ما بیشتر اینست که \(H(xi)\) روند فاکتورهایی مثل \( e^{xi^2} \) را به خود نگیرد چون در اینصورت دوباره به پاسخ‌هایی غیر فیزیکی می‌خوریم.
با قرار دادن عبارت ۸ درون ۶ برای \(H(xi)\) به معادله زیر می‌رسیم:

\(H^{primeprime}(xi) – 2xi H^{prime}(xi) + (2epsilon – 1)xi H(xi)=0,hspace{10mm} (1-9)\)

می‌دانیم که \(epsilon_{0} = frac{1}{2}, H_{0}(xi) = 1\) که ساده‌ترین پاسخ برای این معادله است. این پاسخ همان حالت زمینه سیستم یا حالتی با کمترین انرژی ممکن است.
برای یافتن پاسخ دقیق مساله از بسط سری توانی استفاده می‌کنیم:

\(H(xi) = displaystylesum_{n=0}^{infty} A_{n}xi^{n},hspace{10mm} (1-10)\)

کافیست از عبارت فوق مشتقات اول و دوم را گرفته و در معادله ۹ قرار دهیم. پس از مرتب سازی به عبارت زیر خواهید رسید:

\(displaystylesum_{n=0}^{infty} [(n+2)(n+1)A_{n+2} + (2epsilon – 2n -1)A_n]xi^n = 0,hspace{10mm} (1-11)\)

معادله بالا در صورتی به ازای تمامی \(xi\)ها درست است که تمامی ضرایب برابر با صفر باشند:

\((n+2)(n+1)A_{n+2} + (2epsilon-2n -1)A_n = 0,hspace{10mm} (1-12)\)

اگر مقدار \(A_0, A_1\) را بدانیم می‌توانیم با رابطه بازگشتی بالا پاسخ معادله را در قالب یک سری توانی بیابیم.
بیایید فرض کنیم که سری دارای تعداد بی نهایتی جمله و ضریب است. به ازای مقادیر بسیار بزرگ \(n\) ضرایب به شکل زیر در می‌آیند:

\(frac{A_{n+2}}{A_n}longrightarrow frac{2}{n},hspace{10mm}A_{n+2} sim frac{1}{(frac{n}{2})!},hspace{10mm} (1-13)\)

حالا به شباهت عبارت فوق با \(e^{xi^2} = sum_n frac{xi^{2n}}{n!}\) دقت کنید. ضرایب این عبارت نیز دقیقا مثل معادله ۱۳ رفتار می‌کند. رابطه ۱۲ بین ضرایب، تابع \(H(xi)\) را مشابه با تابع \(e^{xi^2}\) ایجاد می‌کند. رشد این دو تابع شبیه به هم است و نتیجتاً منجر به پاسخ‌هایی واگرا خواهد شد.
جهت حل این مشکل باید به رابطه بازگشتی ۱۲ برگردیم. در صورتی که بخواهیم پاسخ نامحدود یا واگرا نشود باید ضرایب به ازای یک مقدار خاص از \(n\)به بعد صفر شوند و سری تبدیل به یک سری چندجمله‌ای با جملات محدود شود. فقط در یک صورت این موضوع امکان‌پذیر می‌شود:

\(epsilon = n + frac{1}{2},hspace{10mm} (1-14)\)

که در آن \(n\) یک عدد نامنفی است.
پس مجموعه مقادیر انرژی نوسانگر هماهنگ ساده کوانتیده بوده و دارای مقادیر زیر هستند:

\(E_n = (n + frac{1}{2})bar{h}omega, n = 0,1,2,…,hspace{10mm} (1-15)\)

به چندجمله‌ای‌های حاصل چندجمله‌ای‌های هرمیت می‌گویند.
\(H_n(xi)\) از درجه \(n\) و دارای \(n\) گره است. همچنین به ازای \(n\)های زوج تابعی زوج و به ازای \(n\)های فرد تابعی فرد است. ضمنا با توجه به این‌که \(e^{-xi^2}\) تابعی بدون گره و زوج است پس ویژگی‌های پاسخ را چندجمله‌ای‌های هرمیت مشخص می‌کنند. پاسخ کامل به طیف گسسته‌ی انرژی مساله‌ی نوسانگر هماهنگ \(E_n\) با تابع موج زیر تعیین می‌شود:

\(psi_n(xi) = H_n(xi)e^{-frac{xi^2}{2}},hspace{10mm} (1-16)\)

این تابع موج دارای \(n\) گره و پاریته مشابه با \( n\) است. اما چرا توابع موج حاصل همگی دارای پاریته زوج یا فرد هستند؟ این نتیجه از آن‌جا ناشی می‌شود که پتانسیل دارای تقارن می‌باشد: \(V(-x)=V(x)\) .
برخی از چندجمله‌ای‌های هرمیت عبارتند از:

\(H_0(xi) = 1, H_1(xi) = 2xi, H_2(xi) = 4xi^2 -2, H_3(xi) = 8xi^3 -12xi,hspace{10mm} (1-17)\)

دیدگاهها

اولین نفری باشید که دیدگاهی را ارسال می کنید برای “روش‌های عددی در مکانیک کوانتومی (نسخه متنی)”

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد.

درباره مدرس

نام : anush_new_site

تاریخ عضویت : 1 ماه پیش

مشاهده پروفایل: anush_new_site

از همین مدرس